1956 yılında Ankara'da dünyaya geldi. İlk ve orta öğrenimini Ankara'da tamamladı. 1973 yılında girdiği Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi'nden 1979 yılında mezun oldu. İki yıl boyunca Ankara Merkez Hükümet Tabipliği görevini yürüttükten sonra, 1981 yılında Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Genel Cerrahi Kliniği'nde asistanlık yapmaya başladı. Şubat 1986'da ihtisasını tamamlayarak uzmanlık unvanını aldı.
1988 yılında Türkiye Yüksek İhtisas Hastanesi Kalp Damar Cerrahi Kliniği'nde damar cerrahisi alanında sorumlu olarak göreve başladı. 1990 yılında Viyana Üniversitesi, Saint Pölten Hastanesi'nde anjiyoplasti üzerine kısa süreli bir eğitim aldı. Ayrıca, 1995 yılında 3 ay boyunca misafir profesör olarak University of California Los Angeles'ta damar cerrahisi bölümünde çalıştı. Bunun yanı sıra, Charing Cross Hospital-Londra, Uppsala Üniversitesi Hastanesi ve Vasteras Central Hospital-İsveç'teki damar cerrahisi kliniklerinde de kısa süreli eğitimler aldı. Ekim 1990'da Genel Cerrahi alanında doçent unvanını elde etti.
Dr. Murat Bayazıt, 1994-1996 ve 1998-2000 yılları arasında Ulusal Vasküler Cerrahi Derneği'nde genel sekreterlik yapmıştır. 1997-2000 yılları arasında Avrupa Vasküler Cerrahi Derneği'nde meclis üyesi olarak Türkiye'yi ilk kez temsil etmiştir. Ayrıca, 2000-2004 yıllarında Ulusal Vasküler Cerrahi Derneği'nin başkanlığını üstlenmiştir. 2005 yılında Ankara Güven Hastanesi'nde Damar Cerrahisi Bölüm Başkanı olarak göreve başlamış ve hâlâ bu hastanede çalışmaya devam etmektedir. Evli ve bir çocuk babası olan Dr. Bayazıt, iyi derecede İngilizce bilmektedir. Türk Cerrahi Derneği, Ulusal Vasküler Cerrahi Derneği ve Avrupa Vasküler Cerrahi Derneği'nin üyesidir.
