İstanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesinden mezun olan Uçum, aynı üniversitenin Sosyal Bilimler Enstitüsünde çalışma ekonomisi alanında yüksek lisans ve doktora yaptı.
Meslek hayatına serbest avukat olarak başlayan Uçum, İstanbul Barosu’nda aktif görevler üstlendi. Çalışma Hukuku Komisyonu Başkanlığı, Adli Yargıda Yolsuzluk Araştırması Proje Koordinatörlüğü, Faili Meçhul Cinayetler ve Kayıpları Araştırma Projesi Koordinatörlüğü gibi önemli çalışmalarda yer aldı. Ayrıca deprem ve hukuk çalışmalarıyla ilgili projelere katkı sundu. İstanbul Barosu bünyesinde Avukat Hakları Merkezi ve İnsan Hakları Merkezi sözcülüklerini de yürüttü.
Toplumsal projelere de destek veren Uçum, Çocuklar İçin Adalet faaliyeti kapsamında kara mayını mağduru çocuklara yönelik çalışmalar yaptı. Demokratik Açılıma Yurttaş Katkısı Platformu ve Yeni Anayasa Platformu’nun kurucuları arasında yer aldı. TESEV üyesi olarak anayasa izleme raporlarının hazırlanmasında görev aldı. Ayrıca Âkil İnsanlar Heyeti’nde de görev yaptı.
Siyasi kariyerinde, Politika ve Demokrasi Çalışmaları Derneği’nin kurucu başkanlığını üstlenen Uçum, 25. yasama döneminde Kars milletvekili olarak Türkiye Büyük Millet Meclisinde yer aldı.
2015 yılında Cumhurbaşkanı Başdanışmanlığına atanan Mehmet Uçum, aynı zamanda Cumhurbaşkanlığı Hukuk Politikaları Kurulu Başkanvekili olarak görev yapmaktadır.
Bir dönem Türkiye Komünist Partisi üyesi olan Uçum, evli ve bir çocuk babasıdır.
